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          行測數量關系之空瓶換水如何換得“又快又準”
          2023-06-19 03:32
          來源:政華公考

          行測數量關系空瓶換水如何換得“又快又準”

          常見題型

          在近幾年的行測考試中,數量關系部分的統籌問題考察頻率有所提升,逐漸成為考試“新寵”。面對這種靈活多變的題型,很多考生都選擇了放棄。在此給大家分享一種統籌問題中常見模型——空瓶換水問題的解題方法,助力大家在考場上能快速拿分。

          基本原理

          我們通過下面這一道題目來探究一下這類題目的通用解法。

          13個空啤酒瓶可以免費換一瓶啤酒,現有32個啤酒空瓶,請問最多可以免費喝多少啤酒   )?

          A.13        B.14         C.15           D.16

          【答案】D【解析】很多同學拿到這類題目,往往就是一步一步地去換:

          第一步:32個空瓶可以拿出30個空瓶來換10瓶啤酒,還剩2個空瓶;

          第二步:把這10瓶啤酒喝掉可以得到10個空瓶,那么就一共有12個空瓶,再拿去換4瓶啤酒;

          第三步:把這4瓶啤酒喝掉可以得到4個空瓶,拿出3個空瓶換1瓶啤酒,這時還剩下1個空瓶;

          第四步:把這1瓶啤酒喝掉可以得到1個空瓶,一共就有了2個空瓶。2個空瓶看似不夠換一瓶,但實則我們可以借1個空瓶過來,湊夠3個空瓶,換得1瓶啤酒喝掉后再把借來的這1個瓶子還掉就可以了。

          這樣一共可以免費喝10+4+1+1=16瓶,故選擇D選項。

          但這個方法非常浪費時間,而且最后這個瓶子是需要借的,很多同學想不到這點。所以為大家帶來一種更快解題的方法:

          解析:根據題意3個空瓶=1瓶啤酒,我們可以把這1瓶啤酒看成1個空瓶加1份酒,得到3個空瓶=1個空瓶+1份酒,那么等式兩邊的1個空瓶可以消掉,變成2個空瓶=1份酒,也就是有2個空瓶就可以喝1份酒,那么32個空瓶就可以喝32÷2=16瓶酒,故選擇D項。

          【模型特征】:已知兌換規則及空瓶數,求最多能喝到的瓶數。

          【基本公式】:假設n個空瓶可以換一瓶水,那么m個空瓶最多可以喝到m÷(n-1)瓶水。

          靈活考法

          為了讓大家能夠更好地掌握這類題型,我們再一起來了解一下它常見的變形。

          2某啤酒開展“12個空瓶換1瓶啤酒”的大型促銷活動,小張和他朋友在活動期間共喝了245瓶啤酒,那么他們至少需要買多少瓶啤酒   )?

          A.223          B.224         C.225             D.226

          【答案】C【解析】根據題意小張和他朋友喝的245瓶啤酒包括了花錢買的和通過兌換得到這兩部分。因此這道題本質上還是空瓶換水的思路:將一瓶啤酒看成1個空瓶+1份酒,所以根據兌換規則得到12空瓶=1空瓶+1份酒,也就是11空瓶=1份酒,設買了x瓶水,可得:解得想x≈224.6,因為x為正整數且最少為224.6,所以n向上取整為225,故選擇C項。

          通過這道題可以得到空瓶換水問題的變形總結:已知兌換規則及喝到的水數,求至少買多少瓶。這類題目只需要利用兌換規則列方程求解即可。值得注意的是當未知數解出來為非整數時,記得取整。

          空瓶換水問題的理解

          下面我們來通過具體的題目了解一下什么是空瓶換水問題以及具體的解法。

          【例題1】如果4個礦泉水空瓶可以換一瓶礦泉水,現有15個礦泉水空瓶,不交錢最多可以喝礦泉水(   )。

          A.3瓶        B.4瓶       C.5瓶        D.6瓶

          【答案】C【解析】解法(一):4個礦泉水空瓶可以換一瓶礦泉水,有15個礦泉水空瓶不交錢最多可以喝礦泉水呢?可以按一下三步進行考察:

          第一步:15個礦泉水空瓶=12個礦泉水空瓶+3個礦泉水空瓶。12個礦泉水空瓶可換3瓶水,喝完水后有多出三個空瓶,加上原來剩下的3個礦泉水空瓶,目前還有6個礦泉水空瓶。

          第二步:6個礦泉水空瓶=4個礦泉水空瓶+2個礦泉水空瓶,4個礦泉水空瓶可換1瓶礦泉水,喝完又剩下1個空瓶??偣策€有3個礦泉水空瓶。

          第三步:3個礦泉水空瓶貌似不可以再換了,但是大家要發現題目當中問的“最多”二字,所以我們需要考慮極限的情況,那么此時可以找別人借一個空瓶,加上原來剩下的3個礦泉水空瓶,可以換一瓶礦泉水,喝完水后再把剩下的這個空瓶還回去。因此15個礦泉水空瓶,不交錢最多可以喝礦泉水3+1+1=5瓶。答案選C。

          解法(二):大家可以發現,利用解法一我們雖然可以解出上面題目的答案,但是我們也計算了三步之多,如果空瓶的數量較多的話,那么我們就需要不斷地將喝完的空瓶繼續去換,那么計算的步驟可能遠遠不止三步,而在我們分秒必爭的行測考試中,這種解法顯然不適用于實戰。那么我們有沒有方法可以快速解決這一類空瓶換水問題呢?接下來,我們給大家介紹解法二。

          其實大家可以發現,題目中讓我們關注的是可以喝多少瓶水,那我們不妨重點關注空瓶跟喝多少瓶之間的關系。該題中條件“4個礦泉水空瓶可以換一瓶礦泉水”可寫成恒等式的形式:

          4個礦泉水空瓶=1瓶礦泉水=1個礦泉水空瓶+喝1瓶水

          兩邊消去1個礦泉水空瓶而得:3個礦泉水空瓶=喝1瓶水,再用15除以3得5。則15個礦泉水空瓶,不交錢最多可以喝礦泉水5瓶。答案選C。

          根據這個題我們可以得到:若題中的交換規則是N個空瓶換1瓶水,即N空瓶=1瓶水=1空瓶+喝一瓶水,即(N-1)個空瓶=喝1瓶水。所以若有A個空瓶,則最多可以喝A/(N-1)瓶水,然后直接取整數即可。

          空瓶換水的運用

          【例題2】5個汽水空瓶可以換一瓶汽水,某班同學喝了161瓶汽水,其中有一些是用喝剩下來的空瓶換的,那么他們至少需要買汽水多少瓶   )?

          A.129       B.128       C.127       D.126

          【答案】A【解析】共喝到的汽水161瓶,其中包括自己買的以及汽水空瓶換的,通過空瓶換水的兌換規則,可知5空瓶=1瓶汽水=1空瓶+喝一瓶汽水,整理可以得到4空瓶=喝一瓶汽水。設自己買的汽水為X瓶,可以得到X+X/4=161,X=128.8,我們知道買的汽水需要是整數瓶,所以至少需要買129瓶汽水。

           

           

          行測數量關系空瓶換水問題模型解法

          統籌問題是利用數學來研究人力物力的運用和籌劃,使他們能發揮最大效率的一類問題。在近年來的各地國省考中,統籌問題偶有出現,而如果沒有方法地盲目去解,容易浪費很多時間,所以關于統籌問題,我們需要明確題目中所呈現出的模型,對應找到針對性的方法。今天就帶大家來學習統籌問題中的一個常見模型----空瓶換水問題的模型。

          首先我們先來看一個例題:

          例題某商店規定,每四個空啤酒瓶可以換一瓶啤酒,小明家買了24瓶啤酒,他家前后最多能喝到多少瓶啤酒   )?

          A.30          B.31        C.32         D.33

          答案C【解析】空瓶換水問題通常會在題目里明確制定規則,多少個空瓶可以交換多少瓶水或酒,如果沒有方法地去解,那就是完成一次一次的換酒過程:24瓶啤酒的空酒瓶首先可以換來六瓶啤酒,這六瓶啤酒喝完又剩下六個空瓶,可以第二次交換一瓶啤酒,同時剩余兩個空瓶,這一瓶啤酒喝完再次產生一個空瓶,加上第二次交換后剩余的還有三個空瓶,但交換沒有結束,此時找店家借一個空瓶湊齊四個空瓶換一瓶啤酒,這瓶啤酒喝完后可以把剩余的空瓶還給店家,這樣全部交換完成后,一共喝到了24+6+1+1=32瓶啤酒,于是選擇C選項。這樣的解題方法可以完成題目,但是由于步驟較多,流程較長,如果題目中初始空瓶數量比較多的情況下,就會浪費時間。

          所以接下來讓我們抽象一下空瓶換水問題的模型:

          假設n個空瓶可以換一瓶水,那么我們把這一瓶水也可以稱為一個空瓶加一份瓶裝水,于是n空瓶=1空瓶+1瓶中水,化簡后可得(n-1)個空瓶可以換到1瓶中水,這樣就避免了最后一步借還空瓶的過程,因為這樣每一次只換瓶中水,不剩余空瓶,所以當我們有m個空瓶時,最多就可以換到m/(n-1)瓶中水。

          這個模型帶入上面的例題,4個空啤酒瓶可以換一瓶啤酒,那么3個空啤酒瓶就可以換一份純啤酒,現在喝完之后產生了24個空瓶,那么最多可以交換24/3=8,也就是8份純啤酒,所以最多能喝到24+8=32瓶啤酒,這樣就極大簡化了做題的步驟,節約了做題時間。

          所以總結一下空瓶換水的模型,也就是把題干中的n空瓶換一瓶水化簡成(n-1)空瓶換一份水,這樣的小技巧你學會了嗎?

           

          行測數量關系考點:“空瓶”巧換水

          行測數量關系是令很多同學頭疼的一類題型,它不僅題型多樣且難度不一,考場上很多同學甚至都沒有時間做,實在可惜。其實這一部分只要大家堅持學習,不管是國考還是省考,都有一部分題型是各位同學在考試中一定可以做出來的,并且不需要花費太長時間,尤其是一些技巧性很強的題目,比如錯位重排、雞兔同籠、隔板模型等等。當同學們遇到類似的題目時,可以直接代入模型或者公式快速搞定。今天帶大家一起來學習一下空瓶換水問題的解題技巧。

          空瓶換水類的題目大家可能見過,只不過解起來可能過程比較繁瑣不夠快速,而且容易出錯。我們結合下面這道題目進行說明。

          例題5個礦泉水空瓶可以免費換1瓶礦泉水,現有132個礦泉水空瓶,最多可以免費喝到幾瓶礦泉水   )?

          A.31瓶       B.32瓶      C.33瓶       D.34瓶

          答案C【解析】】拿到這道題,很多同學估計已經開始在草稿紙上演算了,一步一步地去換水。先拿132個空瓶去換水,可以換132÷5=26......2,即換26瓶水且余2個空瓶;26瓶水喝完又有26個空瓶,和之前剩余的2個空瓶此時共有28個空瓶。28個空瓶又可以換28÷5=5.....3,即換5瓶水且余3個瓶子;以此類推,8÷5=1.....3,此時喝完1瓶水得到1個空瓶,加上剩余的3個空瓶,一共有4個空瓶,到這一步有同學就想手里的瓶子已經不夠換水了,那么一共喝到了26+5+1=32瓶。遺憾的是,經過這樣一步一步繁瑣的過程最終還是做錯了,實在可惜。

          為什么呢?這樣思考本身沒有問題,但是易錯的地方是最后4個空瓶能否換水呢?此時差一點就可以換到水了,不換豈不有點可惜?那能否想辦法換到呢?就差一個空瓶而已,試想一下,我們可否借一個空瓶,那么我們就湊齊了5個空瓶,此時便可換到1瓶水,喝完有1個空瓶,正好可以還回去,兩全其美,何樂而不為呢?這樣一想,我們完全還可以再喝到1瓶水的,所以我們最多可以喝到33瓶水,正確答案應該選C項。

          經過上面這樣一步步地思考兌換的過程,我們不難發現,這樣去做空瓶換水類的題目太過繁瑣,而且一不小心容易出錯,那么有沒有技巧可以幫助我們避免錯誤,而且能快速做對類似的題目呢?肯定是有的。實際上,我們根據題干中的交換規則“5個空瓶子換1瓶水”,可得“5空瓶=1瓶水=1空瓶+1份水”,化簡為“4空瓶=1份水”,所以最多能免費喝到132÷4=33瓶水,故選擇C選項。

          結論:若n個空瓶換1瓶水,則n-1個空瓶=1份水。

          實戰訓練

          某啤酒廠為促銷啤酒,開展6個空啤酒瓶換1瓶啤酒的活動,孫先生去年花錢先后買了109瓶該品牌啤酒,期間不斷用空啤酒瓶去換啤酒,請問孫先生去年一共喝掉了多少瓶啤酒    )?

          A.127瓶      B.128瓶        C.129瓶        D.130瓶

          答案D【解析】根據題干信息,6個空瓶=1個空瓶+1份啤酒,則5個空瓶=1份啤酒,孫先生買了109瓶該啤酒,也就有109個空啤酒瓶,因此109個空啤酒瓶最多可以換到啤酒109÷5=21.X瓶,所以孫先生去年一共喝掉109+21=130瓶啤酒,故本題選D。

          通過上面兩道題目,大家不難發現空瓶換水類題目易掌握、易得分,每位同學都可以快速掌握,只要考到了,直接套用公式就可以輕松解決。


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